陈省身:九十初度说数学

陈省身:九十初度说数学

   我今年已90岁,大半个世纪以来,与数学有着不解之缘。今天数学渐受社会重视,有些史实或为大家所乐闻,谨简述如次。 
  

   1. 少年时代 
  

   我于1911年10月28日生在浙江嘉兴。幼时因为祖母钟爱,一直不上学。家中有时请先生来教,但并不是长期的。我最初的国文,是一位未出嫁的姑母教的。我父亲游宦在外,记得有一次他回家过年,教了我阿拉伯数字及四则算法。家里有一部《笔算数学》,上中下三册,父亲走后我自己做里面的题目。题目很多,我想除了一些最难的,我大多会做。我以为这种题目别的小孩一定也都会的,根本没有告诉人。 
 

   1919年秋天,祖母觉得我实在不该不上学了,就把我送到县立小学,大约是插入小学四年级。三、四年级在同一教室,共约30个学生。第一天家里送饭在教室吃,同学都走光了,独自吃饭,觉得很凄凉。等到4点钟放学前,不知为什么,教员拿了戒尺,下来把每个学生打一下到四下不等,只有我未被打,大约我这一天实在老实,没有被打的理由。 
  

   这样一来,我不肯再去学校了,在家又玩了一年。次年(1920年)去投考教会办的秀州中学高级小学一年级。那时我的国文程度 是中等,但是做过《笔算数学》习题的人,应付数学考试,自觉裕如,所以就考取了。 
  

   1922年,我父亲在天津法院任事,决定把全家搬到天津。我们在天津的河北区,附近有交通部办的扶轮中学(如今的天津铁路一中),冬天就插班入扶轮中学一年级。 
  

   我在扶轮的一级,是所谓“旧制”,四年毕业。毕业前一年,我父亲的朋友钱宝琮(琢如)先生来南开大学任教授。钱先生专治中国算学史,在这方面很有创见。他一人住南开,有时来我家,谈到我的升学问题,进南开就成为可能性之一。 
  

   扶轮的同学大部分为铁路员工子弟,大多是预备毕业后谋铁路工作的。我的第一志愿是唐山大学。 
  

   但是当时有两件事情,影响我升学的选择。第一是当时华北的政治军事局面不安定,连北京到沈阳的铁路干线都时断时通,投考须遇交通困难。第二是我祖母在那年(1926年)夏天去世,家中正办丧事。 
  

   结果我留在天津,投考南开大学和北洋大学。因为只上过四年中学,北洋只准我考预科、南开却许我考本科,等于跳了两级。这自然对我后来之进南开,有很大的关系。 
  

   2. 南开求学 
  

   考南开,我的准备不足。数学的主要科目是解析几何,我根本没学过。我在扶轮所学的物理化学也不够。家中正遭祖母丧事,混乱不堪,但是竟考取了。事后钱琢如先生告诉我,说我的数学考卷是第二名。每逢考试,我的数学是王牌,它总是把我的平均分数拉上去。 
  

   南开理学院分数学、物理、化学、生物四系,分由姜立夫、饶树人、邱宗岳、李继侗四位先生主持。那些系差不多都是“一人系”,除了他们四位外教授很少。父亲和我都不知道有些什么东西可读,也不知道毕业后有什么事好做。不过觉得物理似较切实,所以入学时倾向于物理系。因为实际上跳了两级,初进大学是有些困难的。我选了一门定性分析,是邱宗岳先生教的,助教是赵克捷先生,外号赵老虎,以严厉著名。我第一次上化学实验,被指定一个柜子,内有些化学仪器;同时接到一个单子,上有这些仪器的英文名字。我们的第一件事是对照所有仪器是否完全。我差不多完全没有实验经验,根本不知道单子上名词与柜中仪器的对应关系。当天指定的工作是吹玻璃管,我自然弄不好。幸亏化学系有一位职员在场,在结束实验前代我吹成了一些。我拿着玻璃管觉得还很热,就用冷水一冲,于是前功尽弃。 
  

   回来想了几天,觉得无论如何化学是读不下去了,结果改选 一门初等力学。当时南开第二年才分系,我因不愿读化学,所以在理学院只剩数学系可进。 
  

   那年姜立夫先生请假去厦门大学,数学系只有钱先生一人,我的微积分、力学都是钱先生教的。饶先生学贯中西,但是物理学牵涉太多,我读不好;惟每跟 数学有关,我就没困难。因此对于物理的基本概念,虽没有读懂,及格是没问题的。 
  

   一年级的生活在我是很舒服的。微积分、力学两课只要做些习题。国文、英语则读不读对于成绩不发生太多影响。物理只有一堂实验费些工夫,对于它的内容,无意求深切了解。我做实验,只做几个基本度量,余时只凑答数,所以结束得很快。但借此倒可了解一些课程的内容。 
  

   过去曾有一位记者先生问我是如何决定读数学的。我说中英文都不好,又不会做实验,就只好读数学了。这个答案其实相当近真。现在想来,我的读书路线,实在是早就确定的。比之多才多艺的人,我的选择问题较简单,一生受此益处不浅。 
  

   那一年的时间,用于看小说杂书者不少,也时常替人作文。我的中英文虽然都不好,但还有不如我的人。我动笔很快,一写两三篇,把好的一篇留给自己,其他的送人。但有时人家反比我得更好的分数。一年级时,我时常替朋友们做种种的作业,以消磨时间。 
  

   1927年,我的读书生活与态度有很大改变。那年姜立夫先生回南开。姜先生在人格上、道德上是近代的一个圣人。记得胡适之先生在《独立评论》的一篇文章上也曾如此说过。姜先生态度严正,循循善诱,使人感觉读数学有无限的兴趣前途。南开数学系在他主持下图书渐丰,我也渐渐能自己找书看了。 
  

   另一个至少受同样影响的人,是同级级友吴大任。他是吴大猷的堂弟,是绝顶聪明的人,什么功课都好。他在南开中学毕业,得四年奖学金免考升入大学。第一年南开中学升大学的人,常互相聚在一起,我同他们接触机会较少。但从二年级直到毕业,我同大任几乎形影 不离,大猷比我们高一级,人比我们熟,但在一起的机会没有这样多。 
  

   1927年左右的中国数学界是很贫弱的。那时北方有北京大学的冯祖荀(汉叔)先生,南方有东南大学留法前辈何鲁、段调元、熊庆来各位先生。中国人以数学为主科在国外得博士学位的只有胡明复、姜立夫两位先生(均在哈佛)。明复先生对组织中国科学社及编印《科学》杂志功劳甚大,可惜他回国不久就去世了,对于发展中国数学,不能有更大的贡献。他的论文和俞大维先生关于数理逻辑的论文,仍是中国人在国外主要数学杂志上最早发表的文章。 
  

   南开的数学系那时以脚踏实地见长。姜立夫先生教书是极认真的,每课必留习题,每题必经评阅。在我进南开前,他所训练的学生刘晋年、江泽涵那时都在哈佛读书,申又枨则留校任教员,可说新的一代渐渐崛起。 
  

   在那段时间,吴大任同我是数学系最好的学生。姜先生很高兴,开了许多在当时认为高深的课,如线性代数、微分几何、非欧几何等等。我的基本数学训练都是姜先生口授的,我性喜浏览,等到1930年毕业时还读过若干杂志上的论文。段茂澜先生教我德文和法文,都达到了能读数学书的程度。 
  

   3. 清华四载 
  

   这几年清华因改为大学而突飞猛进。1930年我在南开毕业那年,清华决定办研究院。我看清楚要深造必须出国留学,但家里不能供给我,所以必须要找公费。清华偶尔招公费生,但并不每年举行,名额中也不一定有数学。清华研究院规定,毕业后成绩优秀者可派送留学,所以大任与我经多次商讨后都去投考清华。 
  

   我去清华的另一个目的,是想跟 孙光远先生做点研究。孙先生南京高等师范毕业,芝加哥大学博士,专攻投影微分几何学。他是当时中国数学 家中惟一在国外发表论文的,也是第一个在博士论文后继续写研究论文的中国数学家。在他的指导下,我在1932年《清华理科报告》发表第一篇研究论文。以后又继续写了两篇这方面的论文,都发表在日本《东北数学杂志》上。 
  

   大任同我都考取了清华研究院。但他因家庭关系,改就广州中山大学助教。清华数学系因为只有我一个研究生,决定延办研究院,改聘我为助教,所以我到1931年才做研究生。因为是第一年考取的,我的学号是零零二,有时成为朋友们的谈话资料。其实学号是照姓名英文拼法的字母排的,并无非他含义。 
  

   清华渐成国内最高学府之一,尤以理学院为然。数学系教授有熊庆来、孙光远、杨武之及我后来的岳父郑桐荪先生,教员有周鸿经、唐培经先生。学生很多优秀者,如庄圻泰、许宝马录、柯召、徐贤修诸位。 
  

   孙光远先生率直天真,相处甚欢。我用许多时间读投影微分几何的论文,可惜那只是数学的一旁支。投影微分几何的研究当时已到结束阶段,我渐觉它的肤浅。后来在这方面又写了几篇论文,都是难题目做不出时用来调剂心情的结果。那时国内的数学界渐渐注重研究,但实在还不了解研究的主流。 
  

   那时清华数学系最引人注意的人物,当数华罗庚。罗庚江苏金坛人,和培经同乡。他初中毕业后辍学在家,就自修数学。因为同乡关系,他同培经通信,质询数学问题。有一期《学艺》杂志上一位先生“证明”五次方程式可解,编者竟登载了。罗庚能把错误找出,因此数学系决定聘他为图书管理员。他1931年来清华,办公桌放在系主任熊先生办公室外面,不久就成了系里的中心人物。罗庚是一个十分活跃的人,凡数学讨论、系内人事,他无不参与。他是确有数学天才的,每天工作十几小时,所以短期内便有文章在国外杂志发表。他在数论、代数、多元复变函数论等方面都有重要的贡献。 
  

   1932年,胡坤 (旭之)先生来任专任讲师。胡先生专长变分学,他在芝加哥大学的博士论文是一篇难得的好论文。旭之先生沉默寡言,学问渊博,而名誉不及他的成就。他不久改任中央大学教授。胡先生多年前已然作古,我深念这个不求闻达的纯 粹学者。 
  

   这个时期,有些国外学者来华访问,数学家有哈佛的伯克霍夫(George Birkhoff)及德国汉堡大学教授、著名几何学家布拉施克(Wilhelm Blaschke)。布拉施克先生做了一组演讲,题目是“微分几何的拓扑问题”。演讲的内容深入浅出,令我大开眼界,使我深切希望到汉堡去读书。 
  

   在清华四年(1930~1934年)读书不太紧张,但亦未太荒废时间。自然多读了些书,也学会了写投影微分几何的文章。那段时间确定了微分几何为自己研究的方向。 
  

   微分几何的出发点是微积分在几何学上的应用,有300多年的历史。自从爱因斯坦(Albert Einstein)提出广义相对论以后,大家想从几何里找物理的模型,不少几何学家在那里工作,可惜至今成就不大。 
  

   微分几何的正确方向是所谓“大范围微分几何”即研究微分流形上的几何性质。它与拓扑学有密切关系,其系统研究,那时才刚开始。这是在清华时始终憧憬着的方向,但未曾入门。那时候的心情,是远望着一座美丽的高山,还不知如何方能攀登。 
  

   1930年以后,国内数学界有长足的进步。许多在国外留学而有成就的学生回国了,北大有江泽涵、申又枨先生,浙大有陈建功、苏步青先生,其他如中央、中山、武汉诸校数学系标准都提高了。尤其浙大在陈、苏两位先生主持下,学生甚多,工作极勤,为国家培养了很多人才。 
  

   4. 跨出国门 
  

   1934年夏我毕业于清华研究院,得到两年公费的机会。清华公费普通是留美,但我得到准许,留德去汉堡大学。该校是第一次世界大战后才成立的,但数学系已很有名。那年希特勒获得政权,驱逐犹太教授,德国的老大学如格丁根、柏林等都闹学潮。汉堡数学系幸而局面比较安静,工作活跃,不失为数学家理想的去处。 
  

   汉堡大学数学教授除布拉施克外,尚有阿廷(Emil Hrtin)、黑克(Erich Hecke)两人,其中尤以阿廷更为突出。他是近代抽象代数开创者之一。但他的兴趣及于整个数学。他的演讲与论文,都是组织严密,曲折不穷。难懂的理论,经他整理,都变得很自然。他20多岁即任正教授,为人随和,看起来像学生。 
  

   我于1934年9月到汉堡,读了一个月德文,学校11月才开学。10月初布拉施克先生休假归来,交给我他新写的几篇论文。不到开学,我就找出他一篇论文里的一个漏洞。他很高兴。叫我想法补正,我也居然做到了,结果两个月时间写成在汉堡的第一篇论文,发表在1935年的《汉堡大学学报》上。德国大学制度,博士学位的主要条件是论文,指导的教授差不多可以完全决定学位的授予。我总算初见就给布先生一个好印象。 
  

   汉堡立刻成了中国学数学者的圣地。姜立夫先生那年恰好休假,也来了汉堡。其他有曾炯之、程毓淮、周炜良等。曾、程两位已在格丁根得了博士。炯之是女数学家诺特(Amalie Emmy Noether)的学生。他的论文是有名的“曾氏定理”,在代数几何中是一个基本性的贡献。炯之为人直爽诚恳,没有人不喜欢他,不幸,他在抗战时死于四川西昌。诺特先生是抽象代数领导人之一,大家公认为女性中最伟 大的数学家,放在男性数学家中也绝对是第一流的。 
  

   1935年来汉堡的有吴大任,他考取第一届留英公费,从伦敦大学转来汉堡。张禾瑞、袁炳南、金再鑫等也陆续而来。大任的夫人陈受鸟亦习数学。布拉施克先生时常旅行,数学上同我接触最多的是凯勒(Erich Ernst Kahler)博士。凯勒先生那时刚完成他的一篇论文,后来称为“凯勒空间”的即此论文之发现。他是布先生的助教,学问渊博,态度谦和,工作上正在突进的时期。他写了一本小书《微分方程组论》,发挥法国大数学家E·嘉当(Elie Joseph Cartan)的理论。书中的基本定理,后来称为“嘉当——凯勒定理”。凯勒先生领导一讨论班,一同读他的书。第一次全研究所的人都出席了,但是这理论太复杂,凯勒先生又不善于讲书,结果如一般讨论班的命运,参加者愈来愈少。两个月后,班上只剩下我一人。我“抗战到底”,所以也许是受益最多的人。 
  

   从讨论班我逐渐认识到嘉当的伟 大数学天才,嘉当先生的论文以难读出名。我渐渐习惯了他的想法,觉得实在是最自然的。我的博士论文是嘉当方法在微分几何上的应用,是一项脚踏实地的工作,但无惊人之处。我的论文1935年秋已完成,因为等布拉施克先生返德,1936年2月才正式得学位。 
  

   周炜良先生因为后来的周太太是汉堡人,所以虽在莱比锡注册,却常常住在汉堡。他1936年夏天得博士。他的论文内容,后来在代数几何中称为“周氏坐标”,是一项重要成果。 
  

   以现在的标准讲,汉堡是一个规模不大的中心。但它有一流的领导者,因之有优秀的学生。在汉堡的两年留学生活,对我而言是很愉快的。 
  

   1936年夏我的公费期满,就接到清华与北大的聘约。那年适得中华文化基金会的补助,可在国外多留一年。这于我在数学研究发展上确是有决定性的一年。我问计于布拉施克先生,他建议两途:或在汉堡习数论,或去巴黎从E·嘉当续习微分几何。经布拉施克先生介绍,嘉当允许我去。 
  

   1936年9月,我抵巴黎,即去谒见嘉当。嘉当先生不但是一位伟 大的数学家,而且为人谦和随便,也是最好的教员。他只讲法语,我能听懂,但在最初几个月,答复只好用笔谈了。他每星期四下午在办公室接见学生,门口排长龙。两月后,他同我说,可以到他家去谈。我每两星期去一次,每次约谈一小时,没有闲话(我的法语也不够谈闲话)。他的意见甚多,材料熟悉,简单的问题,时常立刻便有答案(有时我要花几天才能得出同样的答案)。会见后一天往往接他的信,继续讨论我们的问题。我直到1937年7月离巴黎返国,10个月工夫全力应付每两周一次的嘉当会见,所以工作努力而精神愉快。这期间共发表三篇论文,但工作范围远超出这些论文的内容。 
  

   1937年夏离法经美返国,原拟去北平清华任教。适值日本侵华,改去长沙临时大学及西南联合大学。国家在战争,学校在搬迁,谈不上图书设备,幸好嘉当寄给我他的大批复印本,可以苦读。他一生所写论文约6000页,我至少读了十之七八,其中有些更是十分熟悉。学术固需要交流,有段闭门精思的时间也是有益的。战时学校不正常,但我抓紧时间,努力工作,继续发表研究论文。当时我在国内跻身群贤,被看做数得上的数学家,即在国际,亦渐为若干人所知。但对于工作成就,却深感不满,不愿从此默默下去。 
  

   我1943年由昆明去普林斯顿是一生中的重大决定。那时大战方酣,中美交通困难。一个可能的路线是从昆明飞印度,再坐船经好望角泛大西洋赴美。想到德国潜水艇的活跃,这条线路自然有相当危险。但我决心赴美,不顾一切困难。维布伦(Oswald Veblen)先生欣赏我的工作,给我弄到经济援助。结果我于7月中坐军用机,用了7天工夫,经印度、非洲、南美至迈阿密。 
  

   到普林斯顿后立刻做了一个的确极重要的工作,就是所谓“高斯—帮尼公式”的新证明。两年工夫发表了几篇微分几何学方面精心独诣的文章,所谓“陈氏特征类”等都是那时候做的。当时最伟 大的几何学家霍普夫(Heinz Hopf)先生,评论我的一篇论文时说“微分几何进入一新时代了”。 
  

   我在普林斯顿初次会到赫尔曼·外尔(Claude Hugo Hermann Weyl)。他当然知道我的名字和我的一些工作。我对他是十分崇拜的,但我已不是学生,对于传统的微分几何学,我的了解和我所掌握的工具,自信不在人下。我要搞整体的微分几何,便需要拓朴、李群、代数几何和分析等。外尔很看重我的工作,他看了我关于高斯—帮尼公式的初稿,曾向我道喜,我们有很多的来往,有多次的长谈,开拓了我对数学的见解。历史上是否会再有像外尔这样广博精深的数学家,将是个有趣的问题。 
  

   5. 提携新进 
  

   战后于1946年春返国,奉命组织中央研究院的数学研究所。数学所名义上由姜立夫先生任所长,但姜先生只在南京几个月,从1946年到1948年,一切计划都是由我主持。当时的国民政府已经摇摇欲坠,我苦撑了三年。有一位朋友说,我把研究所办成了研究生院,这倒是很敏锐的观察。我的政策是“训练新人”。我收罗了大批新毕业的大学生,每周上12小时的课,引他们入近代数学之堂奥。所中研究员有胡世桢、王宪 钟、李华宗等先生,助理员甚多,后来有特殊成就的,有吴文俊、杨忠道、陈国才、廖山涛 、张素诚等。我很高兴,现在中国的数学界仍旧继续着这一提携新进的政策。 
  

   很有意思的是,30多年后,也就是1978年,美国国家自然科学基金会打算成立一个国家拔款支持的数学研究所。我与穆尔(Calvin C. Moore)和辛格(I. M. Singer)联合提出一个提案:在美国西部成立一个数学研究所,地点就在加利福尼亚大学伯克利分校校园内,但独立于加州大学的管辖。后来这一提案获准,并委托我筹办。1981年我成为该所第一任所长,但声明只做一届。办所方针是建立“小巧而具有可塑性的研究机构”。这就是美国国家数学科学研究所的由来。 
  

   1984年后,我在伯克利的任期已满,由卡普兰斯斯(Irving Kaplansky)接任。这时,正好接到中华人民共和国教育部的聘书,邀我担任南开数学研究所所长。南开数学所是国家级的研究所,也是落到我头上由我创建的第三个数学研究所。它于1985年10月17日正式成立,以“立足南开,面向全国,放眼世界”为宗旨,实行全方位开放。每年学术活动内容由所学术委员会确定,主要活动方式是“学术活动年”,邀请国内外研究第一线的著名数学家讲演。听讲者,特别是研究生和青年数学工作者获益良多。建立南开数学所,就是希望为全国在数学方面愿意而且能够工作的人创造一个可以愉快地潜心工作的环境,让青年人知道有“好的数学”和“不好的数学”之分。这里所说的“好”,简而言之,就是意义深远、可以不断深入、影响许多学科的课题;“不好”则是指仅限于把他人的工作推演一番、缺乏生命力的题目。我的愿望是让青年人尽早地懂得欣赏“好的数学”。 
  

   好了,现在我们开始转向下一个话题:什么是几何学? 

   什么是几何学 
  

   1.欧几里得几何 
  

   在100多年前,几何学差不多就是欧几里得(Euclid)。他在公元前300年左右写了一部大书,中文叫做《几何原本》。从这本书我们可以看出:在当时的社会,几何学并不被大家所注意,所以像欧几里得这样伟 大的人,我们也不大知道他的生平。大致说起来,他是属于公元前365至公元前275年间的人物,这是大致的时间,并不表示他活了90岁。 
  

   这本书是人类文化史上一部非常伟大而有意义的著作。它的主要结论有两个: 
  

   (1)毕达哥拉斯定理 这条定理就是我们常说的勾股定理:设有一直角三角形ABC,则长边的平方等于其他两边的平方和。由几何方面来说,如果我们在三边上各作一正方形,那么两个小正方形的面积就等于大正方形的面积。 
  

   (2)三角形三内角之和等于180°如果以弧度为单位,也可以说三角形三内角之和等于π。 
  

   这本书受到重视,不单是为了学几何,主要还要学一种逻辑推理的方法。欧几里得从几个很明显的事实——公理——出发,用逻辑的方法推出几何的结论。在他列出的公理中,较有争议的是平行公理。平行公理原来是说:有两条直线被一条直线所截,如果截角的和小于180°,那么这两条直线在充分延长后,必相交于一点。另一个简单的说法是:假使有一直线和线外一点,那么通过那个点就刚好只有一条直线和原来的直线平行,平行者就是这两条直线不相交。 
  

   这个平行公理在所有公理之中是最不明显的,所以数学家或是对数学有兴趣的人便想从其他的公理去推得平行公理。这种努力延续了几百年后,后来证明这是不可能的,于是有了非欧几何学的发现,这在人类思想史上是非常有意义的事实。因此我感觉到这是西方数学和中国传统数学不同的地方。《九章算术》是中国古代最有名的数学书,一共九章,第九章谈的是所谓勾股。勾、股就是直角三角形中较短的两条边,一条叫做“勾”,另一条就叫做“股”,而最长的那条边便称为“弦”。刚才说过,勾股定理也就是毕达哥拉斯定理,所以它的发现,中国人也有份。但是在中国传统的几何学中,我无法找到类似三角形三内角和等于180°的推论,这是中国传统数学中没有的结果。因此,得于国外数学的经验和有机会看中国古代数学的书,我觉得中国古代数学没有纯粹数学,都是应用数学。这是中国古代科学的一个缺点,这个缺点到现在还存在。应用当然很重要,但是许多科学领域的基本发现都在于基础科学。 
  

   2.非欧几何 
  

   从三角形三内角之和等于180°这个结论,而有接下来的重要发展: 
  

   (1)球面几何我们所讨论的三角形,并不一定都在平面上,也可以是一个球面三角形。在这种情形下,三角形三内角之和必然大于180°,并且有一个非常重要的公式: 

   S是该球面三角形的面积,R是球的半径,R2则度量了球面的曲率,因此有曲率的观念跑到这样一个简单的公式里。这在数学或物理学上是一个重要发展,因为在爱因斯坦的相对论中,曲率代表一个场的力,所以几何度量和物理度量便完全一致了。 
  

   (2)双曲型的非欧几何 在这种情形下,三角形三内角之和是小于180°的,即有如下的重要公式: 
   

   此时的R2代表非欧几何的一个绝对的度量,换句话说,在双曲型非欧几何的“平面”上,它的曲率是负的,即曲率为。因此,在空间或者“平面”的曲率,可以是正的,像球面几何;也可以是负的,像双曲型的非欧几何。而其相对应的三角形三内角之和,也分别有大于或小于180°之情形,不再满足欧几里得的平行公理。



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